Calcula el Máximo Común Divisor y el Mínimo Común Múltiplo con el Algoritmo de Euclides paso a paso.
El MCD de dos números es el mayor número que los divide a ambos sin dejar resto. Por ejemplo, MCD(12, 8) = 4, porque 4 es el mayor divisor común de 12 y 8.
Se usa para: simplificar fracciones, resolver problemas de reparto equitativo, y encontrar medidas comunes.
El MCM de dos números es el menor número positivo que es múltiplo de ambos. Por ejemplo, MCM(4, 6) = 12, porque 12 es el menor número que tanto 4 como 6 dividen exactamente.
Se usa para: sumar fracciones con distinto denominador, sincronizar eventos que ocurren en ciclos diferentes, y problemas de tiempo/horarios.
Conceptos clave, fórmulas y Algoritmo de Euclides
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Escribes los múltiplos o divisores de cada número y buscas el que coincide. Funciona bien con números pequeños, pero se vuelve lento con números grandes.
El método más rápido para el MCD: divisiones sucesivas hasta llegar a resto 0. Es el que usa esta calculadora.
Descompones cada número en factores primos y comparas los exponentes comunes (MCD) o todos los exponentes mayores (MCM).
Es el método más eficiente para calcular el MCD, y se basa en una idea simple: MCD(a, b) = MCD(b, a mod b), donde "mod" es el resto de dividir a entre b. Se repite la división usando el resto obtenido, hasta que el resto llega a 0 — el último divisor distinto de cero es el MCD.
Ejemplo: MCD(48, 18) → 48 = 18×2 + 12 → 18 = 12×1 + 6 → 12 = 6×2 + 0 → el último resto no nulo fue 6, así que MCD(48, 18) = 6.
Fórmula para el MCM a partir del MCD: MCM(a, b) = (a × b) ÷ MCD(a, b). Siguiendo el ejemplo: MCM(48, 18) = (48 × 18) ÷ 6 = 144.
Otra forma de llegar al mismo resultado es descomponer cada número en sus factores primos. Tomemos 60 y 72:
60 = 2² × 3 × 5 | 72 = 2³ × 3²
Para el MCD, tomas solo los factores primos que se repiten en ambos, elevados al menor exponente: 2² × 3 = 12. Para el MCM, tomas todos los factores (comunes y no comunes), elevados al mayor exponente: 2³ × 3² × 5 = 360.
Esta calculadora trabaja con dos números a la vez, pero el mismo procedimiento se extiende a tres o más: calculas primero el MCD (o MCM) de los dos primeros, y ese resultado lo combinas con el siguiente número, y así sucesivamente. Por ejemplo, para MCD(12, 18, 30): primero MCD(12,18) = 6, y luego MCD(6, 30) = 6 — ese es el resultado final.
Es el mayor número que divide exactamente a dos o más números, sin dejar resto. Por ejemplo, MCD(12, 8) = 4, porque 4 es el mayor divisor común de 12 y 8.
Es el menor número positivo que es múltiplo de dos o más números a la vez. Por ejemplo, MCM(4, 6) = 12, porque 12 es el menor número que tanto 4 como 6 dividen exactamente.
Divides el número mayor entre el menor y te quedas con el resto. Repites la división usando el divisor anterior y el resto obtenido, hasta que el resto sea 0. El último divisor no nulo es el MCD. Es el método más rápido para números grandes.
Con la fórmula MCM(a,b) = (a × b) ÷ MCD(a,b). Como el MCD suele ser más fácil de obtener con el Algoritmo de Euclides, esta es la vía más rápida para llegar al MCM sin tener que listar todos los múltiplos.
El MCD es útil para simplificar fracciones (dividir numerador y denominador por el MCD), repartir objetos en grupos iguales (el MCD indica el máximo de grupos posibles), y en problemas de geometría para encontrar dimensiones comunes.
El MCM es útil para encontrar el mínimo común denominador al sumar fracciones, sincronizar eventos que se repiten en diferentes intervalos (como turnos de trabajo o semáforos), y en programación para optimizar ciclos.
Si el MCD(a, b) = 1, los números son "coprimos" o "primos entre sí", lo que significa que no tienen factores comunes más allá del 1. En ese caso, MCM(a, b) = a × b directamente, sin necesidad de simplificar nada.
Sí, calculando por parejas: primero el MCD (o MCM) de los dos primeros números, y ese resultado se combina con el tercer número, repitiendo el proceso tantas veces como números tengas.
Tienes 48 manzanas y 36 naranjas para armar canastas con la misma cantidad de cada fruta en todas.
Paso 1: MCD(48, 36) — Algoritmo de Euclides: 48 = 36×1 + 12 → 36 = 12×3 + 0 → MCD = 12
Paso 2: Puedes armar 12 canastas, cada una con 48÷12 = 4 manzanas y 36÷12 = 3 naranjas.
= 12 canastas (4 manzanas + 3 naranjas c/u)Un autobús pasa cada 15 minutos y otro cada 20 minutos. Si ambos salen juntos a las 8:00 a.m., ¿a qué hora vuelven a coincidir?
Necesitas el MCM(15, 20): 15 = 3 × 5 | 20 = 2² × 5 → MCM = 2² × 3 × 5 = 60
Vuelven a coincidir cada 60 minutos, es decir, a las 9:00 a.m.
= Coinciden cada 60 minutos